题目大意是这样的：

1.平均每个QQ用户有25个好友，如何计算两个用户之间是不是六度可达。

2.如果一台计算机每秒可以进行1000次查询，问一天能计算出一个用户最多几度好友，如何改变设计，使度数提高。

 

思    路：

首先说一下什么叫六度空间理论，根据百度百科的定义：

该理论源于一个数学领域的猜想，名为Six Degrees of Separation，中文翻译包括以下几种： 六度分割理论或小世界理论等。

 理论指出：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过六个人你就能够认识任何一个陌生人。

 

 

这道题，首先我们需要先构建一个六度空间，这样只要我们输入两个QQ号，就会搜索出两个用户之间的是否存在六度关系。假设我们已经建好了这样一个六度空间。

不妨设输入的两个QQ号用户分别为A,B。每个人的QQ号为一个unsigned int型数据。每次都以最坏情况为例。

那么获取A的25个好友并对比其中是否有B，需要1次查找和25次对比。

获取A25个好友的25个好友并对比其中是否有B，需要25次查找，和25^2次对比。

同理A的六度好友大约有(忽略重负)25×25×25×25×25×25=244140625≈244×4MB≈1GB的数据。需要进行250M次的查找和1G的对比，这是一个相当恐怖的数据。

 

该如何优化了？

假设A,B六度可达不妨设A->C->D->E->F->G->B为A到B的路劲。不难看出若A，B六度可达，则A的三度好友，与B的三度好友，应该有重叠。即从两个方向查找：

A->C->D->E1

B->G->F->E2

只要E1和E2中有相同的QQ号即可。根据上面的结论，可以得出E1和E2的数据分别有25^3=15625个数据，只需要进行625次查找和15625次对比即可得出结果。

接下来就是对两组15625个数据进行对比了，由于这15625个数据都是unsigned型数据，这里可以采用Bit-map或者hash的方式可以达到o(n)时间完成对比。(由于题目对空间没有限制)

 

肯定有人对这个量级的计算还不满意，该如何继续优化了？只有一条路空间换时间。我们可以对好友的好友建立大量索引。

例如：A:{A1}{A2}{A3}

        B:{B1}{B2}{B3}

 An分别表示A的n度好友那么

1度好友为：A∈B1<=>B∈A1;

2度好友为：A∈B2<=>B∈A2，A1,B1有共同项;

3度好友为：{A1}{B2}有共同项，或者{B1}{A2}有共同项；

4度好友为：{A2}{B2}有共同项；

6度好友为：{A3}{B3}有共同项；

这样在查询A的数据时就获得了A的2度，3度好友信息，只需要进行后面的对比即可。

并且完全可以将这些数据放到本地计算，大大减轻了服务器的负担。

 

第二问，每秒进行1K次查询，一天可以进行24*60*60*1K≈82M次查询操作。

如果不对好友的好友进行索引，那么根据前面的结论，要索引的一个用户的六度好友需要进行25^5≈381K次查询。七度好友则需要大约9M次查询。因此最多只能计算出7度好友。

同上，要想提高度数的话，可以对好友的好友进行索引，每多索引一度好友信息，就可以多提高1度。

PS：其实这道题没有多大意义，因为根据牛津大学教授顿巴的研究，自然给我们人类的大脑，只能让我们维系150-200个左右的好友。超出这个范围，就会有好友慢慢地被淡忘。很多社会群体的平均大小是150，这个数也被称为顿巴数(Dunbar Number)。也就是说，一般两个好友之间最多存在4度关系。

 

 

 

最后谈一下好友关系的更新，依然以六度好友为例。

假设A与B建立了好友关系以后，整个系统的关系全都变化了，因为这个新的关系一定会导致一些关系的短路。但是因为我们只存储3度分隔以内的关系，也只关心3度分隔以内的关系，因此当发生了一个新的关系后，3度内关系的变化一定是A和B本身或者他们的1,2度关系的用户，再远的用户将不受这个关系的影响。

根据上面的假设，A与B的索引信息需要进行修正：

3度修正，分别加上对方的2度：

{A3}={A3+B2};

{B3}={B3+A2};

2度修正：

{A2}={A2+B1};

{B2}={B2+A1};

1度修正：

{A1}={A1+B};

{B1}={B1+A};

操作次数为2*(25^2+25+1)=1302次。

 

以上是自己的一点见解，有不对的地方还望大家指出。